\input{../preambules/preDM.tex}
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\begin{document}

\chead{Correction Devoir surveillé n°0}
\lfoot{}
\cfoot{Retour de vacances.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir surveillé n°0}
\end{center}
\vspace{30pt}


\begin{ex}[Calcul littéral et fractions]
\begin{enumerate}
\item 0n calcule
\begin{align*}
A & = (n(n+1))^2 - n(n+1)(2n+1) \\
  & = n^2 (n^2 +2n +1) - (n^2 + n)(2n +1) \\
  & = n^4 + 2n^3 + n^2 - (2n^3 +2n^2 + n^2 + n) \\
  & \boxed{= n^4 - 2n^2 - n}
\end{align*}

\item On calcule 
\begin{align*}
B & = (n(n+1))^2 - n(n+1)(2n+1) \\
  & = n(n+1)\left( n(n+1) - (2n +1) \right) \\
  & \boxed{= n(n+1)(n^2 - n - 1)}
\end{align*}

\item On factorise en reconnaissant une identité remarquable :
\begin{align*}
C & = (x+4)^2 + 2(2x + 1)(x+4) + (2x+1)^2 \\
  & = (x+4 + 2x +1)^2 \\
  & \boxed{= (3x + 5)^2 }
\end{align*}

\item On simplifie :
\begin{align*}
D & = \displaystyle \frac{(x^3-x^2)(4-12x)}{x^2(1-3x)} \\
  & = \dfrac{x^2 (x - 1) \times 4 (1-3x)}{x^2 (1-3x)} \\
  & \boxed{= 4(x-1)}
\end{align*}

\item On simplifie 
\begin{align*}
E & = \dfrac{3x}{4(x+2)(x^2+1)} - \dfrac{3}{2(x^2+1)(x-1)} \\
  & = \dfrac{3x(x-1)}{4(x+2)(x^2+1)(x-1)} - \dfrac{6(x+2)}{4(x^2+1)(x+2)(x-1)} \\
  & = \dfrac{3x^2 -3x -6x - 12}{4(x^2+1)(x+2)(x-1)} \\
  & \boxed{= \dfrac{3x^2 - 9x - 12}{4(x^2+1)(x+2)(x-1)} }
\end{align*}
\item On a la relation 
\begin{align*}
\dfrac{4x^2+3}{x} & = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{3}{x} \\
				  &\boxed{ = 4x + \dfrac{3}{x}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{ex}[Racines carrées et $|\cdot|$]
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
A & = \sqrt{1200} \\
  & = \sqrt{400 \times 3} \\
  & = \sqrt{400} \times \sqrt3 \\
  & \boxed{= 20 \sqrt3}
\end{align*} 
\item On simplifie l'expression
\begin{align*}
B & = (\sqrt{2} +6)(\sqrt{2}-6) \\
  & = \sqrt{2}^2 - 6^2 \\
  & = 2 - 36 \\
  & \boxed{= -34}
\end{align*}
\item On a 
\begin{center}
\fbox{$C = 12$ et $D = 5$.}
\end{center}
\item On simplifie en utilisant la quantité conjuguée
\begin{align*}
E & = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 4} \\
  & = \dfrac{x(\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x}+4)} \\
  & \boxed{= \dfrac{x\sqrt{x} + 4x}{x - 16} }
\end{align*}

\item On simplifie en mettant au même dénominateur: 
\begin{align*}
F & = \dfrac{2}{\sqrt{x}- 2} - \dfrac{3}{\sqrt{x} + 2} \\
  & = \dfrac{2(\sqrt{x} + 2) - 3(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} -2)(\sqrt{x}+2)} \\
  & = \dfrac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} +4 + 6}{x - 4} \\
  &\boxed{ = \dfrac{10 - \sqrt{x}}{x - 4}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Puissances]
\begin{enumerate}
\item On écrit les expressions suivantes sous la forme $bx^a$: 
\begin{enumerate}
\item On calcule
\begin{align*}
A & = x^3 \times (2x)^{-2} \\
  & = x^3 \times 2^{-2} x^{-2} \\
  & \boxed{= \dfrac{1}{4}x}
\end{align*}
\item On calcule 
\begin{align*}
B & = \dfrac{x^2 \times x^{-4}}{x^3} \\
  & = \dfrac{x^{-2}}{x^3} \\
  & = \dfrac{1}{x^5} \\
  & \boxed{= x^{-5}}
\end{align*}
\item On calcule 
\begin{align*}
C & = (3x)^2 \times (x^5)^4 \\
  & = 9 x^2 \times x^{20} \\
  & \boxed{= 9 x^{22}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\item On simplifie 
\begin{align*}
D & = 3^n + 3^n + 3^n \\
  & = 3^n (1+1+1) \\
  & = 3^n \times 3 \\
  & \boxed{= 3^{n+1}}
\end{align*}
\item On \'ecrit l'expression sous la forme $x^a$: 
\begin{align*}
E & = \dfrac{x^{-1}}{(-x)^3 x^{-2}} \\
  & = - \dfrac{x^2}{x \times x^4} \\
  & = - \dfrac{1}{x^2} \\
  & \boxed{= - x^{-2}}
\end{align*}
\item On écrit l'expression suivante sous la forme $x^a$:
\begin{align*}
F & = \sqrt{x} \times \dfrac{x^3}{(-\sqrt{x})^6 x^{-2}} \\
  & = x^{\frac{1}{2}} \times \dfrac{x^3 \times x^2}{(-1)^6 (\sqrt{x})^6} \\
  & = x^{\frac{1}{2}} \times \dfrac{x^5}{x^3} \\
  & = x^{\frac{1}{2}} \times x^2 \\
  & \boxed{= x^{\frac{5}{2}}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[\'Equations et inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout 
\begin{align*}
2x^2 - 3x = -1 & \Longleftrightarrow 2x^2 -3x + 1 = 0 
\end{align*}
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 9 - 4 \times 2 = 1$. L'équation possède donc deux solutions
$$
x_1 = \dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2} \qquad  \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{3+1}{4} = 1
$$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \left\{ \dfrac{1}{2} , 1 \right\}$.}
\end{center}

\item On résout en factorisant
\begin{align*}
(3x-2)^2 - (2x+4)(3x-2) = 0 & \Longleftrightarrow (3x - 2) (3x - 2 - (2x+4)) = 0 \\
& \Longleftrightarrow (3x - 2)(x - 6) = 0 \\
& \Longleftrightarrow 3x - 2 = 0 \qquad \text{ou} \qquad x - 6 = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\qquad \text{ou} \qquad x = 6
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \left\{ \dfrac{2}{3} , 6 \right\}$.}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
(e^x - 1)(3 - e^{2x}) = 0 & \Longleftrightarrow e^x - 1 = 0 \qquad \text{ou} \qquad 3 - e^{2x} = 0 \\
& \Longleftrightarrow e^x = 1 \qquad \text{ou} \qquad e^{2x}  = 3 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \qquad \text{ou} \qquad 2x = \ln(3) \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \qquad \text{ou} \qquad x = \dfrac{\ln(3)}{2}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = \left\{ 0,\dfrac{\ln(3)}{2} \right\}$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{3x}{5} - \dfrac{2}{3} \leq - \dfrac{x}{15} & \Longleftrightarrow \dfrac{9x}{15} + \dfrac{x}{15} \leq \dfrac{2}{3} \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{10x}{15} \leq \dfrac{2}{3} \\	
& \Longleftrightarrow x \leq \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3} \\
& \Longleftrightarrow x \leq 1
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = ]- \infty ; 1]$}
\end{center}
\item On résout l'inéquation en factorisant
\begin{align*}
4x^2 - 2x \geq 0 & \Longleftrightarrow 2x(2x-1) \geq 0
\end{align*}
On fait alors le tableau de signe : 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,espcl=2]{$x$/1.5,Signe de $ 2x$/1.5,Signe de $2x - 1$/1.5, Signe de $4x^2 - 2x$/2}{$-\infty$,0,$\dfrac{1}{2}$,$+ \infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}  
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = ]- \infty ; 0] \cup [1/2 ; + \infty[$}
\end{center}

\item L'inéquation $e^x \geq x$ est équivalente à l'inéquation $e^x - x \geq 0$. On pose la fonction $f : x \to e^x - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$. On a pour tout $x \in \R$, 
$$ f'(x) = e^x - 1$$
On résout alors $e^x - 1 \geq 0 \Longleftrightarrow e^x \geq 1 \Longleftrightarrow x \geq 0$. On en déduit alors le tableau de variation suivant 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,espcl=2]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$-\infty$,$0$,$+ \infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/,-/$1$,+/} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
D'après le tableau de variation, la fonction $f$ est positive ou nulle donc pour tout $x$ réel, $e^x \geq x$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} =\R$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Logarithme et exponentielle]
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
A & = 3 \ln(45) - 5 \ln(75) +18 \ln(15) \\
  & = 3 \ln (9 \times 5) - 5 \ln( 25 \times 3) + 18 \ln(3 \times 5) \\
  & = 3 \left( \ln(3^2) + \ln(5) \right) - 5 \left( \ln(5^2) + \ln(3) \right) + 18 \left( \ln(3) + \ln(5) \right) \\
  & = 6 \ln(3) + 3 \ln(5) - 10 \ln(5) - 5 \ln(3) + 18 \ln(3) + 18 \ln(5) \\
  &\boxed{ = 19 \ln(3) + 11 \ln(5) }
\end{align*}
\item On calcule 
\begin{align*}
B & =  2 \ln \left(x^{3}\right)+\ln \left(\dfrac{1}{x^{3}}\right) \\
  & = 2 \times 3 \l(x) - \ln(x^3) \\
  & = 6 \ln(x) - 3 \ln(x) \\
  & \boxed{= 3 \ln(x)}
\end{align*}
\item On calcule 
\begin{align*}
C & = 5 \ln \left(\frac{9}{4}\right)-4 \ln \left(\frac{3}{8}\right)+8 \ln \left(\frac{2}{9}\right) \\
  & = 5 \left( \ln(9) - \ln(4) \right) - 4 \left( \ln(3) - \ln(8) \right) + 8 \left( \ln(2) - \ln(9) \right) \\
  & = 5 \left( \ln(3^2) - \ln(2^2) \right) - 4 \left( \ln(3) - \ln(2^3) \right) + 8 \left( \ln(2) - \ln(3^2) \right) \\
  & = 5 \times 2 \ln(3) - 5 \times 2 \ln(2) - 4 \ln(3) + 4 \times 3 \ln(2) + 8 \ln(2) - 8 \times 2 \ln(3) \\
  & \boxed{= 10 \ln(2) -10 \ln(3) }
\end{align*}

\item On calcule 
\begin{align*}
D & = \ln\left( \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \\
  & = \ln \left(\left( \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} \right) \times\left( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \right) \\
  & = \ln \left( \dfrac{3^2 - \sqrt5^2 }{4} \right) \\
  & = \ln \left( \dfrac{9 - 5}{4} \right) \\
  & \boxed{= \ln(1) = 0}
\end{align*}

\item On calcule 
\begin{align*}
E & = e^{-2 \ln(2) } \\
  & = \left(e^{\ln(2)}\right)^{-2} \\
  & = 2^{-2} \\
  & \boxed{= \dfrac{1}{4}}
\end{align*}

\item On calcule 
\begin{align*}
F & = \ln \left(e^{x^{2}+1}\right)-e^{2 \ln (x)}+\ln (e) \\
  & = x^2 +1 - \left(e^{\ln(x)}\right)^2 + 1 \\
  & = x^2 + 1 - x^2 + 1 \\
  &\boxed{ = 2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Fonctions]

\textbf{A. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~12] par 
%$f(x) =  \ln [r(x)]$.

%Démontrer que $f(x) = \ln (900) + \ln x -  0,1(x -2)$.
On a
\begin{align*}
f(x) & =  \ln [r(x)] \\
     & = \ln \left[ (900x)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\right] \\
     & \boxed{=  \ln 900 + \ln x - 0,1(x - 2)}
\end{align*}
\item %On note $f$ la fonction dérivée de $f$ ;  démontrer que $f'(x) = \dfrac{10 - x}{10x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~12]$ en tant que composée de fonction dérivables et sur cet intervalle 
$$
f'(x) = \dfrac{1}{x} - 0,1 = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{10 - x}{10x}.
$$
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de ]0~;~12] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~12].
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $10 - x$, donc :

-- si $x < 10$, \:$f'(x) > 0$, donc la fonction est croissante sur [0~;~10[ ;

-- si $x > 10$, \: $f'(x) < 0$, donc la fonction est décroissante sur ]10~;~12]

-- $f'(10) = 0$, \: $f(10)$ est le maximum de $f$ sur [0~;~12].

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Variations de $f$/2}{$0$,$10$,$12$}
\tkzTabVar{-/,+/$f(10)$, -/} 
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item %On désigne par $r'$ la fonction dérivée de $r$ ; exprimer $f'$ en fonction de $r'$ et de $r$ puis justifier que $r'(x)$ et $f'(x)$ ont le même signe pour tout $x$ de ]0~;~12].
Comme $f(x) =  \ln [r(x)]$, alors $f'(x) = \dfrac{r'(x)}{r(x)}$

Comme la fonction $r$ est positive sur [0~;~12], \begin{center}
\fbox{le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $r'(x)$.}
\end{center}
\item %En déduire les variations de $r$ sur ]0~;~12].
On a donc les variations suivantes de $r$ :

-- si $x < 10$, \:$r'(x) > 0$, donc la fonction est croissante sur [0~;~10[ ;

-- si $x > 10$, \: $r'(x) < 0$, donc la fonction est décroissante sur ]10~;~12]

-- $r'(10) = 0$, \: $r(10)$ est le maximum de $r$ sur [0~;~12].

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Variations de $r$/2}{$0$,$10$,$12$}
\tkzTabVar{-/,+/$r(10)$, -/} 
\end{tikzpicture}
\end{center} 

\item %Déterminer pour quelle valeur $x_{0}$ la fonction $r$ atteint un maximum et calculer $x_{0}$ arrondi à l'unité près.
D'après le résultat précédent la fonction $r$ atteint un maximum pour $x_0 = 10$ et ce maximum est
\begin{align*}
r\left(x_0\right) = r(10) & = 900 \times 10 \text{e}^{-0,1(10-2)} \\
 & \boxed{ = \np{9000}\text{e}^{- 0,8} }
\end{align*}
\end{enumerate}

\textbf{B. Calcul de la valeur moyenne}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $R$ définie par 

%\[R(x) = - \np{9000}(x + 10)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\]

%est une primitive de la fonction $r$ sur [0 ; 12].
Sur [0~;~12], $R$ est dérivable et :
\begin{align*}
R'(x) & = - \np{9000}\text{e}^{- 0,1(x - 2)} - \np{9000}(x + 10)\times (- 0,1)\text{e}^{-0,1(x - 2)} \\
      & = - \np{9000}\text{e}^{- 0,1(x - 2)} + 900(x + 10)\text{e}^{- 0,1(x - 2)} \\
      & = \np{900}\text{e}^{- 0,1(x - 2)}(- 10 + x + 10) \\
      & = 900x\text{e}^{- 0,1(x - 2)} \\
      & \boxed{= r(x)}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La fonction $R$ est une primitive de la fonction $r$. }
\end{center}
%Calculer la valeur moyenne $r_{m}$ de la fonction $r$ sur [0 ; 12] définie par

%\[r_{m} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x.\]

%On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
\item Par définition, la valeur moyenne notée $r_m$ est 
\begin{align*}
r_{m} & = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x \\
      & = \dfrac{1}{12}[R(x)]_0^{12} \\
      & = \dfrac{1}{12}\left[R(12) - R(0)\right] \\
      & = \dfrac{1}{12}\left[- \np{9000}(12 + 10)\text{e}^{-0,1(12 - 2)} +  \np{9000}(0 + 10)\text{e}^{-0,1(0 - 2)} \right] \\
      & = \dfrac{1}{12}\left[- \np{9000}\times 22\text{e}^{-0,1\times(10)} +  \np{9000}\times 10\text{e}^{-0,1(- 2)} \right] \\
      & \boxed{= \np{1500}\left(5\text{e}^{0,2} - 11\text{e}^{- 1} \right)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Probabilités]
%Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
%
%On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
%
%Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré \og secteurs repéré \fg.
%
%On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1 = 0,2$.
%
%On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2 = 0,3$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur $C$ soit repéré.
On a donc 
\begin{align*}
p_1 + p_2 + p_3 = 1 & \iff p_3 = 1 - \left(p_2 + p_3 \right) \\
& \iff p_3 = 1 - (0,2 + 0,3)  \\
& \iff \boxed{p_3 = 1 - 0,5 = 0,5 }\\
\end{align*}

%Une partie consiste à lancer la route deux  fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
%
%On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.
\item ~%Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A,\,B) est égale à $0,06$.
On peut obtenir les 9 issues différentes par un arbre pondéré :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{DS0-tree.png}
\end{center}

En suivant la deuxième branche, on a donc : 
\begin{center}
\fbox{$p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0,2 \times 0,3 = 0,06$.}
\end{center}
\item ~%Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles.
%Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C,\,C) est égale à $0,25$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\diagbox{\footnotesize Secteur repéré \\\footnotesize au premier lancer}{\footnotesize Secteur repéré\\\footnotesize  au deuxième lancer} & A & B & C \\
%\hline
%A     &0,04		&0,06 	&0,10 \\\hline
%B     &0,06  	&0,09	&0,15 \\\hline
%C     &0,10     &0,15 	&0,25   \\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Secteur repéré au premier lancer & A & B & C \\
\hline
A     &$\np{0,04}$  &$\np{0,06}$ &$\np{0,10}$ \\
\hline
B     &$\np{0,06}$  &$\np{0,09}$ &$\np{0,15}$ \\
\hline
C     & $\np{0,10}$ &$\np{0,15}$ &$\np{0,25}$   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
	
\item %Montrer que la probabilité de tenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à $0,25$.
La probabilité d'obtenir un couple ne contenant que les secteurs A ou B est égale à : 
\begin{center}
\fbox{$0,04 + 0,06 + 0,06 + 0,09 = 0,25$.}
\end{center}
\item %De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

%$\bullet$ \quad obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
%
%$\bullet$ \quad obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
%
%$\bullet$ \quad d'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Gain (en euros) & $- 10$ & 1 & 8 \\\hline
Probabilité     &0,25  &0,50 &  $\np{0,25}$  \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
		\item %Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
Le gain moyen est égal à l'espérance mathématique de la loi de probabilité dont le tableau est ci-dessus.
		
On a 
\begin{align*}
g_{\text{moyen}} & = - 10 \times 0,25 + 1 \times 0,5 + 8 \times 0,25 \\
                 & = - 2,50 + 0,5 + 2  \\
                 & = 0
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{
Le jeu est donc équitable.}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{ex}


\begin{ex}[Suites]

Dans cet exercice, on cherche à trouver une formule explicite pour les suites de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \\

\begin{enumerate}
\item {\bf \large Cas où $a = 1$} : On s'intéresse dans cette partie au cas où $a=1$, c'est à dire aux suites de la forme $u_{n+1} = u_n + b$ avec $u_0 \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item Cette suite est une \uline{suite arithmétique}
\item Recopiez et complétez le programme suivant permettant de calculer le $50$ ème terme de la suite $u_{n+1} = u_n +3$ et $u_0 = 1$.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier, b un réels 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ..1.. 
L3 :                  n prend la valeur ..50..
L4 :                  b prend la valeur ..3..
L5 : Traitement       Pour k allant de .1. à .n. faire 
L6 :                      u prend la valeur ..u + b.. 
L7 :                  Fin Pour 
L8 : Résultat         Afficher u 
\end{verbatim}    
\item On a la formule pour tout $n \in \N$, 
\begin{center}
\fbox{$u_n = u_0 + b \times n$.}
\end{center}

\end{enumerate}
\item {\bf \large Cas où $b = 0$} : Dans cette partie, on s'intéresse aux suites de la forme $u_{n+1} = a u_n$ et $u_0 \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item Il s'agit d'une \uline{suite géométrique}. On a la formule suivante pour tout $n \in \N$,
\begin{center}
\fbox{$u_n = a^n \times u_0$. }
\end{center}
\item On a différentes possibilités :
\begin{itemize}
\item Si $-1 < a < 1$, alors $\li_{n \to + \infty} a^n  = 0$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{n \to + \infty} u_n = 0$.}
\end{center}
\item Si $a = 1$, alors $\li_{n \to + \infty} a^n  = 1$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{n \to + \infty} u_n = u_0$.}
\end{center}
\item Si $a > 1$, alors $\li_{n \to + \infty} a^n  = +\infty$ donc, comme $u_0 > 0$. 
\begin{center}
\fbox{$\li_{n \to + \infty} u_n = +\infty$.}
\end{center}
\item Enfin si $a \leq -1$ \begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)_{n \in\N}$ n'a pas de limites.}
\end{center} 
\end{itemize}
\item Dans cette question $a = 0.5$ et $u_0 = 2$. Recopiez et complétez le programme suivant afin qu'il donne le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0.0001$.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier, a un réel 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ..2.. 
L3 :                  n prend la valeur ..0..
L4 :                  a prend la valeur ..0.5.. 
L5 : Traitement       Tant que .u >= 0.0001 . faire 
L6 :                      u prend la valeur ..a * u..
L7 :                      n prend la valeur ..n + 1.. 
L8 :                  Fin Tant que 
L9 : Résultat         Afficher n 
\end{verbatim} 
\end{enumerate}
\item {\bf \large Un cas particulier} : On considère la suite $u_{n+1} = -2u_n + 3$ et $u_0 = 2$. 
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation
\begin{align*}
x = -2x +3 & \Longleftrightarrow  3x = 3 \\
& \Longleftrightarrow x = 1 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a donc  
$\alpha = 1$.}
\end{center}
\item On pose la suite $v_n = u_n - \alpha$. On calcule pour tout $n \in \N$,
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} - 1 \\
        & = -2 u_n +3 - 1 \\
        & = -2 u_n + 2 \\
        & = -2 (u_n - 1) \\
        & = -2 v_n
\end{align*}
De plus $v_0 = u_0 - 1 = 1$.
\begin{center}
 \fbox{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $(-2)$ et de premier terme $v_0 = 1$.}
 \end{center} 
\item On a donc pour tout entier $n$
\begin{center}
\fbox{$v_n = (-2)^n$.}
\end{center} 
\item Comme $v_n = u_n - 1$, on en déduit que 
\begin{center}
\fbox{$u_n = (-2)^n +1$.}
\end{center}
\item La suite $(u_n)_{n \in \N}$ n'admet pas  de limites en $+ \infty$. 
\end{enumerate}
\item {\bf \large Le cas général :} On considère que $a \neq 1$, $a \neq 0$ et $b \neq 0$. On revient au cas de la suite $u_{n+1} = au_n + b$ et $u_0 \in \R$. 
\begin{enumerate}
\item On résout 
\begin{align*}
x = ax + b & \Longleftrightarrow x - ax = b \\
& \Longleftrightarrow (1-a)x = b \\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{b}{1-a}
\end{align*}
On rappelle que $a \neq 1$
\begin{center}
\fbox{On a donc $\alpha = \dfrac{b}{1-a}$.}
\end{center}
\item On introduit la suite $v_n = u_n - \alpha$. On calcule pour tout entier $n$ : 
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} - \dfrac{b}{1-a} \\
        & = a u_n + b - \dfrac{b}{1-a} \\
        & = a \left( v_n + \dfrac{b}{1-a} \right) + \dfrac{(1-a)b - b}{1-a} \\ 
        & = a v_n + \dfrac{ab}{1-a} + \dfrac{-ab}{1-a} \\
        & = a v_n
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0 = u_0 - \dfrac{b}{1-a}$.}
\end{center}
\item On a donc pour tout $n$ entier, 
\begin{center}
\fbox{$v_n = \left( u_0 - \dfrac{b}{1-a} \right) a^n$ }
\end{center}
\item On en déduit donc que pour tout $n \in \N$, 
\begin{center}
\fbox{$u_n = v_n + \alpha = \left( u_0 - \dfrac{b}{1-a} \right) a^n + \dfrac{b}{1-a} $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{ex}[Réflexions]
On résout l'équation $ x = a x^2 + (1 -a) \Longleftrightarrow a x^2 - x + (1 - a) = 0 $  avec $a > \dfrac{1}{2}$. c'est une équation du second degré, son discriminant est 
 $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times a \times (1-a) = 4a^2 - 4a + 1 = (2a-1)^2 > 0$$ 
 
Les solutions de cette équation sont donc 

\reponsed{ 
x_1 & =  \dfrac{1 - \sqrt{(2a - 1)^2}}{2 a} \\
    & = \dfrac{1 - |2a - 1|}{2a} \\
    & = \dfrac{1 - (2a - 1)}{2a} \\
    & = \dfrac{2-2a}{2 a} \\
    & = r
}{
x_2 & =  \dfrac{1 + \sqrt{(2a - 1)^2}}{2 a} \\
    & = \dfrac{1 + |2a - 1|}{2a} \\
    & = \dfrac{1 + (2a - 1)}{2a} \\
    & = 1 
}

L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \{ r ; 1 \}$.}
\end{center}
\end{ex}

\end{document}